Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．

（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析

【解析】

（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；

（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；

（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．

解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，

可得a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x+6；

（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，

根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），

∴C'（5，6），

设直线BC'的解析式为y=kx＋b

将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：

∴直线BC'的解析式为y＝x+1，

将x＝代入，解得y=

∴M（，）；

（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：

①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；

②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；

③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；

故存在5个满足条件的P点．