精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,直线l1:y=-x+3与直线l2:y=
12
x-3
的图象交于A点,l1与坐精英家教网标轴分别交于B,C两点,l2与坐标轴分别交于D,E两点.
(1)求点A的坐标,并求出经过A,C,D三点的抛物线函数解析式;
(2)题(1)抛物线上的点的横坐标不动,纵坐标扩大一倍后,得到新的抛物线,请写出这个新的抛物线的函数解析式,判断这个抛物线经过平移,轴对称这两种变换后能否经过A,B,E三点;如果可以,说出变换的过程;如果不可以,请说明理由.
(3)在题(1)中的抛物线顶点上方的对称轴上有一动点P,在对称轴右侧的抛物线上有一动点Q,问是否存在这样的动点P,Q,使△APQ与△ABD相似?如存在请求出动点Q的坐标,并直接写出AP的长度.
分析:(1)解直线I1和直线I2组成的方程组,即可求出A的坐标,把y=o,x=0,分别代入直线11和直线I2即可求出D、C的坐标,设经过A,C,D三点的抛物线函数解析式是y=ax2+bx+c,代入坐标即可求出解析式;
(2)根据坐标设出解析式就能写出解析式,先以x轴为对称轴做轴对称变换,然后向左平移,最后向下平移即可;
(3)①当∠PAQ=∠ABD时,△AMN≌△ABM,求出Q的坐标,进一步求出AP的长,②当∠PAQ=∠ADB时,△AMN∽△AND,求出Q的坐标,进一步求出AP的长.
解答:(1)解:
y=-x+3
y=
1
2
x-3

解得:
x=4
y=-1

即:A(4,-1),
当y=0时,y=
1
2
x-3=0,
x=6,
∴D(6,0),
当x=0时,y=-x+3=3,
∴C(0,3),
设经过A,C,D三点的抛物线函数解析式是y=ax2+bx+c,
把A(4,-1)C(0,3),D(6,0)代入并解得:a=
1
4
,b=-2,c=3,
∴抛物线的解析式是y=
1
4
x2-2x+3

答:点A的坐标是(4,-1),经过A,C,D三点的抛物线函数解析式是y=
1
4
x2-2x+3.

(2)新的抛物线y=
1
2
x2-4x+6

可以,因为过A,B,E的抛物线解析式为y=-
1
2
x2+
5
2
x-3
=-
1
2
(x-
5
2
2+
1
8

顶点为(
5
2
1
8
)
,可以把抛物线y=
1
2
x2-4x+6

先以x轴为对称轴做轴对称变换,则解析式为y=-
1
2
x2+4x-6
=-
1
2
(x-4)2+2,
然后向左平移
3
2
个单位,最后向下平移
15
8
个单位.
答:新的抛物线的解析式是:y=
1
2
x2-4x+6
,可以,变换的过程是先以x轴为对称轴做轴对称变换,
然后向左平移
3
2
个单位,最后向下平移
15
8
个单位.

(3)存在,因为A点是抛物线的顶点,
所以∠PAQ小于90度,必不可能等于∠BAD(这个角是钝角)
所以要使△APQ与△ABD相似,只要使∠PAQ等于∠ABD或者∠ADB,
就可以存在,
设抛物线对称轴与x轴交点为M,直线AQ与x轴交点为N,
则当∠PAQ=∠ABD时,△AMN≌△ABM,
所以N坐标为(5,0),
直线AQ解析式为y=x-5,
与抛物线的交点Q为(8,3),
此时AP=12或
8
3

当∠PAQ=∠ADB时,△AMN∽△AND,
所以N坐标为(
9
2
,0),
直线AQ解析式为y=2x-9,
与抛物线的交点Q为(12,15),
此时AP=24或
40
3

答:动点Q的坐标是(8,3)或(12,15),AP的长度是12或
8
3
或24或
40
3
点评:本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,用待定系数法求二次函数的解析式,图形的平移和旋转,相似三角形的旋转和判定等知识点,综合运用性质进行计算是解此题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

20、如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,3),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为
x≥2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直线l1、l2交于点A,试求点A的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直线l1:y=2x+4与l2:y=-x-5在同一平面角坐标系中相交于点P,则点P的坐标是
 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,直线l1的解析表达式为y=
12
x+1,且l1与x轴交于点D,直线l2经过定点A,B,直线l1精英家教网l2交于点C.
(1)求直线l2的函数关系式;
(2)求△ADC的面积;
(3)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,直线l1,l2交于点A,直线l2与x轴交于点B,与y轴交于点D,直线l1所对应的函数关系式为y=-2x+2.
(1)求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式;
(2)求△ABC的面积;
(3)在直线l2上存在一点P,使得PB=PC,请直接写出点P的坐标.

查看答案和解析>>

同步练习册答案