Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0 , 4），D为OC的中点.
【小题1】（1）求m的值；
【小题2】（2）抛物线的对称轴与x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由； 
【小题3】（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】解：（1）抛物线与y轴交于点C（0 , 4），
∴    
∴ 
【小题2】（2）抛物线的解析式为 .
可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）.
可求点E的坐标.
由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，是钝角三角形，不可能与相似，所以点F一定在x轴上方.
此时与有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：
① 当时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，
可求 F点坐标为（1，4）.                      ………3分
② 当时，.
过F点作FH⊥x轴，垂足为H.
可求 F的坐标为.                      ……………4分
（3）   
（4）   
【小题3】(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .
由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为
可求与直线BC平行且的距离为的直线为 y=-x+9或y=-x-1.
…………………6分
∴ 点G在直线y=-x+9或y=-x-1上.
∵ 抛物线的对称轴是直线,
∴        解得
或      解得
∴ 点G的坐标为. 

解析