Question

2．如图所示，∠B=∠C=90°，M为BC的中点，AM平分∠DAB．求证：
（1）DM平分∠ADC；
（2）AM⊥DM．

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，从而证明DM平分∠ADC；
（2）利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，所以两直线垂直．

解答 证明：（1）证明：如图：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵AM平分∠DAB，
∴∠3=∠4，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴ME=MB（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，
∴ME=MC，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，
∴DM平分∠ADC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）；
（2）DM⊥AM．
证明：∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=$\frac{1}{2}$∠CDA，∠3=$\frac{1}{2}$∠DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度，即DM⊥AM．

点评 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．