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2.已知点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,4),作等边△ABC,求点C的坐标.

分析 根据勾股定理可求AB=2$\sqrt{5}$,作线段AB的垂直平分线,交线段AB于D,以B点为圆心,2$\sqrt{5}$为半径画弧,与线段AB的垂直平分线交于C1、C2,连接AC1、AC2,在直角三角形BC1D中,解直角三角形得:C1D,C2D,再根据两点间的距离公式可求点C的坐标.

解答 解:作线段AB的垂直平分线,交线段AB于D,以B点为圆心,2$\sqrt{5}$为半径画弧,与线段AB的垂直平分线交于C1、C2,连接AC1、AC2
AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
设直线AB的解析式为y=kx+b,则$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$,
故直线AB的解析式为y=-2x+4,
D点的坐标为(1,2),
设直线DC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b1,则$\frac{1}{2}$+b1=2,
解得b1=$\frac{3}{2}$,
故直线DC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$,
设点C的坐标为(m,$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$),则(m-1)2+($\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$-2)2=(2$\sqrt{5}$÷2×$\sqrt{3}$)2
解得m1=1+2$\sqrt{3}$,m2=1-2$\sqrt{3}$
当m1=1+2$\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2+$\sqrt{3}$,
当m2=1-2$\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$=2-$\sqrt{3}$.
故点C的坐标为(1+2$\sqrt{3}$,2+$\sqrt{3}$),(1-2$\sqrt{3}$,2-$\sqrt{3}$).

点评 本题考查了锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值,等边三角形的性质,勾股定理,综合性较强,难度适中,找出点D的位置是解题的关键.

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(2)以点B关于x轴的对称点D为圆心,以OD为半径作⊙D,试判断直线AC与⊙D的位置关系,并说明理由;
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14.下列计算错误的有(  )
①(2x+y)2=4x2+y2  
②(-3b-a)(a-3b)=a2-9b2  
③2×2-2=$\frac{1}{2}$ 
④(-1)0=-1  
⑤(x-$\frac{1}{2}$)2=x2-2x+$\frac{1}{4}$ 
⑥(-a2m=(-am2
A.2个B.3个C.4个D.5个

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11.2022年将在北京-张家口举办冬季奥运会,很多学校开设了相关的课程.某校8名同学参加了冰壶选修课,他们被分成甲、乙两组进行训练,身高(单位:cm)如下表所示:
队员1队员2队员3队员4
甲组176177175176
乙组178175177174
设两队队员身高的平均数依次为$\overline{{x}_{甲}}$,$\overline{{x}_{乙}}$,方差依次为S2,S2,下列关系中完全正确的是(  )
A.$\overline{{x}_{甲}}=\overline{{x}_{乙}}$,S2<S2B.$\overline{{x}_{甲}}=\overline{{x}_{乙}}$,S2>S2
C.$\overline{{x}_{甲}}$<$\overline{{x}_{乙}}$,S2<S2D.$\overline{{x}_{甲}}$>$\overline{{x}_{乙}}$,S2>S2

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