Question

若反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象与一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交于点A（-2，m）、B（5，n）．
（1）求3a+b的值；
（2）当a=1时，确定反比例函数y=

k

x

（k≠0）的解析式，并解答以下两个问题：
①分别求出A、B两点关于直线y=x对称点A′和B′的坐标；A′和B′两点也在反比例函数的图象上吗？
②A、B两点连同①中求出的对称点A′和B′，共四点组成的四边形ABB′A′为矩形吗？为什么？

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）分别把A（-2，m）、B（5，n），代入反比例函数y=

k

x

的图象与一次函数y=ax+b即可得出结论；
（2）根据a=1，3a+b=0即可得出b的值，进而得出反比例函数的解析式．
①根据关于直线y=x对称的特点求出A′，B′的坐标，再根据反比例函数的特点即可得出结论；
②根据矩形的判定定理即可得出结论．

解答：解：（1）∵分别把A（-2，m）、B（5，n），代入反比例函数y=

k

x

的图象与一次函数y=ax+b得
-2m=5n，-2a+b=m，5a+b=n，
∴5（5a+b）=-2（-2a+b），即25a+5b=4a-2b，即3a+b=0．

（2）∵a=1，3a+b=0，
∴b=-3，
∴A（-2，-5），
∴k=（-2）×（-5）=10，
∴反比例函数的解析式为：y=

10

x

；
①∵由a=1，b=-3，
∴A（-2，-5），B（5，2），
∵点A、B与A′、B′分别关于直线y=x对称，
∴A′（-5，-2），B′（2，5）．
∵反比例函数的图象关于直线y=x对称，
∴A′和B′两点也在反比例函数的图象上；
②是矩形．
∵点A、B与A′、B′分别关于直线y=x对称，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，
∵AB′=

(-2-2)2+(-5-5)2

，A′B=

(-5-5)2+(-2-2)2

，
∴AB′=A′B，
∴四边形ABB′A′是矩形．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数的图象关于直线y=x对称是解答此题的关键．