Question

如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，cos∠BFA=

2

3

，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）连接BO，根据三角形的内角和定理可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，易证△AFB∽△CFE，结合相似比，即可得出EF的长；

解答：（1）证明：连接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB
又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：连接CE，
∵AC是直径，
∴∠ABC=∠CEA=90°，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴△AFB∽△CFE，
∴

AF

BF

=

CF

EF

，又CF=9，cos∠BFA=

2

3

，
∴EF=

2

3

×9=6．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目．