Question

10．如图，半圆O的直径MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点M、N始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=4cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在圆相切时，如果半圆O与直线MN围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析 （1）随着半圆的运动分四种情况：①当点N与点C重合时，AC与半圆相切，②当点O运动到点C时，AB与半圆相切，③当点O运动到BC的中点时，AC再次与半圆相切，④当点O运动到B点的右侧时，AB的延长线与半圆所在的圆相切．分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间．
（2）在1中的②，③中半圆与三角形有重合部分．在②图中重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，故可根据扇形的面积公式求解．在③图中，所求重叠部分面积为=S_△POB+S_扇形DOP．

解答 解：（1）①如图1所示：当点N与点C重合时，AC⊥OE，OC=ON=3cm，

∴AC与半圆O所在的圆相切．
∴此时点O运动了1cm，所求运动时间为：t=1（s）
②如图2所示；

当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F．
在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，则OF=3cm，即OF等于半圆O的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了4cm，所求运动时间为：t=4（s）
③如图3所示；过点O作OH⊥AB，垂足为H．

当点O运动到BC的中点时，AC⊥OC，OC=OM=3cm，
∴AC与半圆O所在的圆相切．
此时点O运动了7cm，所求运动时间为：t=7（s）．
④如图4所示；

当点O运动到B点的右侧，且OB=6cm时，过点O作OQ⊥AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=3cm，即OQ等于半圆O所在的圆的半径，
所以直线AB与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了16cm，所求运动时间为：t=16（s）．
（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2与3所示的两种情形．
①如图2所示：重叠部分是圆心角为90°，半径为3cm的扇形，所求重叠部分面积=$\frac{1}{4}π{r}^{2}$=$\frac{1}{4}×π×{3}^{2}=\frac{9π}{4}$（cm²）；
②如图③所示：
设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．
则PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm
则OH=1.5cm，BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cm，BP=3$\sqrt{3}$cm，S_△POB=$\frac{1}{2}BP•OH$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）
又因为∠DOP=2∠DBP=60°
所以S_扇形DOP=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}=\frac{60π×{3}^{2}}{360}$=$\frac{3π}{2}$（cm²）
所求重叠部分面积为：S_△POB+S_扇形DOP=$\frac{3π}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{4}$（cm²）．

点评 本题利用了直线与圆相切的概念，扇形的面积公式，直角三角形的面积公式，锐角三角函数的概念、根据直线与圆的位置关系画出符合题意的图形是解题的关键．