Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是 ．

Answer 1

【答案】4.5
【解析】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1 ， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1 ，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB2=AC2+BC2 ，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1= AC=2，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=0.5，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=2.5+1.5=4，
∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．
所以答案是：4.5．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用切线的性质定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．