Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t（t＞0）秒，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；

（2）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当t为时，△DEF是等边三角形；见解析；（3）当t为或4时，△DEF为直角三角形．

【解析】

（1）在Rt△CDF中，利用30度角的对边等于斜边的一半，即可得出DF的长，此题得解；
（2）易知当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，由∠A=60°可得出AD=AE，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）易知当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形，分∠AED=90°和∠ADE=90°两种情况考虑，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．

解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AE∥DF，

∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）∵四边形AEFD是平行四边形，

∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE．

∵AE=t，AD=AC-CD=10-2t，

∴t=10-2t，

∴t=，

∴当t为时，△DEF是等边三角形．

（3）∵四边形AEFD是平行四边形，

∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．

当∠AED=90°时，AD=2AE，即10-2t=2t，

解得：t=；

当∠ADE=90°时，AE=2AD，即t=2（10-2t），

解得：t=4．

综上所述：当t为或4时，△DEF为直角三角形．