Question

如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，且AB=AC=4，P为AB上一点，过P作PE⊥AB分别BC、OA于E、F。 （1）设AP=1，求△OEF的面积；
（2）设AP=a （0＜a＜2），△APF、△OEF的面积分别记为S₁、S₂。
①若S₁=S₂，求a的值；
②若S=S₁+S₂，是否存在一个实数a，使S＜？若存在，求出一个a的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）BC是⊙O的直径，∠BAC=90°，
AB=AC，∠B=∠C=45°，OA⊥BC，∠B=∠1=45°，
PE⊥AB，∠2=∠1=45°，∠4=∠3=45°，
则△APF、△OEF与△OAB均为等腰直角三角形，
AP=1，AB=4，AF=，OA=2，OE=OF=，
△OEF的面积为；
（2）①PF=AP=a，，
且AF=，OE=OF=-=（2-a），
，

，

∵，
∴
②
当时，S取得最小值为，
∵，
∴不存在这样实数a，使S＜。