Question

【题目】已知：，点A、B分别在射线OM、ON上(A、B均不与重合)，以AB为边在∠MON的内部作等边三角形ABC，连接OC.

（1）如图1，当OA=OB时，求证：平分.

（2）如图2，当OA≠OB时，过点C作CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D、E.求证：OD=OE.(注：四边形的内角和为)

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得AC=BC，利用SSS可证明△ACO≌△BCO，可得∠AOC=∠BOC，即可得OC平分∠MON；

（2）由垂直的定义可得∠ODC=∠CEB=90°，根据四边形内角和为360°可得∠DCE=60°，根据角的和差关系可得∠ACD=∠BCE，利用AAS可证明△ACD≌△BCE，可得CD=CE，利用HL可证明△OCD≌△OCE，即可证明OD=OE.

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，

在△ACO和△BCO中，，

∴△ACO≌△BCO（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，即OC平分∠MON.

（2）∵，

∴，

∵，且四边形的内角和为，

∴，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（AAS），

在Rt△OCD和Rt△OCE中，，

∴△OCD≌△OCE（HL），

∴OD=OE.