Question

【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们称这个三角形是比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝1，BC＝2，求AC的长．

（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC

①求证：△ABC是比例三角形

②若AB∥DC，如图2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；（2）①详见解析；②．

【解析】

（1）根据比例三角形的定义，分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三种情况分别代入计算可得；

（2）①先证△ADC∽△CAB，得ADBC＝AC2，再由∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC，推出AB＝AD即可得；②首先证明四边形ABCD是菱形，根据∠BAC＝∠ADC可得△ABC是等边三角形，然后根据含30° 直角三角形的性质可得答案．

解：（1）设AC＝m．

由题意m2＝1×2或12＝2m或22＝m，

∴m＝，m＝（不符合三角形三边关系定理，舍去），m＝4（不符合三角形三边关系定理，舍去），

故AC＝；

（2）①∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴ADBC＝AC2，

∵∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴ABBC＝AC2，

∴△ABC是比例三角形；

②由①知AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠BAC＝∠ADC，且∠BAC＝∠BCA，

∴∠ADC＝∠BCA，

∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，

∴△ABC是等边三角形，

∴BO＝AO，DO＝OC，

∴BO+DO＝（OA+OC），

∴BD＝AC，

∴＝．