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3.如图,点A1的坐标为(0,1),A2在x轴的负半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交y轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交x轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交y轴于点A5;…按此规律进行下去,则点A2017的坐标为(0,31008).

分析 由∠A1A2O=30°结合点A1的坐标即可得出点A2的坐标,由A2A3⊥A1A2结合点A2的坐标即可得出点A3的坐标,同理找出点A4、A5、A6、…的坐标,根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1(0,($\sqrt{3}$)4n),A4n+2((-$\sqrt{3}$)4n+1,0),A4n+3(0,-($\sqrt{3}$)4n+2),A4n+4(($\sqrt{3}$)4n+3,0)(n为自然数)”,依此规律结合2017=504×4+1即可得出点A2017的坐标,此题得解..

解答 解:∵∠A1A2O=30°,点A1的坐标为(0,1),
∴点A2的坐标为(-$\sqrt{3}$,0).
∵A2A3⊥A1A2
∴点A3的坐标为(0,-3).
同理可得:A4(3$\sqrt{3}$,0),A5(0,9),A6(-9$\sqrt{3}$,0),…,
∴A4n+1(0,($\sqrt{3}$)4n),A4n+2((-$\sqrt{3}$)4n+1,0),
A4n+3(0,-($\sqrt{3}$)4n+2),A4n+4(($\sqrt{3}$)4n+3,0)(n为自然数).
∵2017=504×4+1,
∴A2017(0,($\sqrt{3}$)2016),
即A2017(0,31008),
故答案为(0,31008).

点评 本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形,根据点的变化找出变化规律,是解题的关键.

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