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精英家教网如图,在平面直角坐标系中,已知:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0).
(1)求AO、AB所在直线的函数解析式;
(2)在△AOB内可以作一个正方形CDEF,使它的三个顶点分别落在边AO、AB上,E、F两个顶点落在OB上,请求出这个正方形四个顶眯的坐标,并在图中画出这个正方形;
(3)连接OC,在线段OC上任取一点P,过P作与x轴、y轴的不行线与OA、OB分别交于M、N两点,过M作OB边的垂线与OB交于H;你有什么发现?请写出来,并说明理由.
分析:(1)因为△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6)、B(0,0)、C(6,0),所以可设OA所在直线的解析式为:y=k1x,把A(4,6)代入得到关于k1的方程,解之即可;可设AB所在直线的解析式为:y=k2x+b,把A(4,6)、B(6,0)代入得到关于k2、b的方程组,解之即可;
(2)因为在△AOB内可以作一个正方形CDEF,使它的三个顶点分别落在边AO、AB上,E、F两个顶点落在OB上,所以可过A作AS⊥OB于S,交CD于T,利用DC∥EF,可得△ADC∽△AOB,利用相似三角形的对应边的比等于相似比,可得
AT
AS
=
CD
OB
,由点的坐标可知OB=6,AS=6,所以AT=DC=TS=3,故可设D(x,3),利用D(x,3)在y=
3
2
x
的图象上,求出x的值就求出了D的坐标;同样可设C点的坐标为(x,3),因为CD=3,结合D的横坐标可得到x-2=3,即x=5,就可求出C(5,3),根据CDEF是正方形,即可写出E、F的坐标.
(3)因为DC∥PM∥HN,PN∥FC∥HM,可得
MP
DC
=
OP
OC
PN
CF
=
OP
OC
MP
DC
=
PN
CF
,MHNP是平行四边形,利用四边形EFCG是正方形,DC=CF,可得MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,所以四边形MHNP是正方形.
解答:解:(1)设OA所在直线的解析式为:y=k1x,
把A(4,6)代入得4k1=6,∴k1=
3
2

∴AO所在直线的解析式为:y=
3
2
x
(2分)
设AB所在直线的解析式为:y=k2x+b,
把A(4,6)、B(6,0)代入得
4k2+b=6
6k2+b=0

解得
k2=-3
b=18

∴AB所在直线的解析式为:y=-3x+18.(4分)

(2)过A作AS⊥OB于S,交CD于T.
精英家教网∵DC∥EF,
∴△ADC∽△AOB,
AT
AS
=
CD
OB

∵A(4,6),B(6,0),
∴OB=6,AS=6,
AT
6
=
CD
6

∴AT=DC=TS=3,故可设D(x,3),
∵D(x,3)在y=
3
2
x
的图象上,
∴x=2,故D(2,3),(6分)
可设C点的坐标为(x,3)
∵CD=3,
∴x-2=3,即x=5,
∴C(5,3),(7分)
又∵是DE、CF都垂直于OB且DE=CF,
∴E、F两点的坐标分别为:E(2,0)、F(5,0).(8分)

(3)四边形MHNP是矩形.(9分)精英家教网
∵DC∥PM,PN∥FC
MP
DC
=
OP
OC
PN
CF
=
OP
OC
(10分)
MP
DC
=
PN
CF

又∵四边形EFCG是正方形,DC=CF.
∴MP=NP,而MH⊥OB,PN⊥OB,
∴四边形MHNP是正方形.(12分)
点评:本题的解决需利用待定系数法、相似三角形的性质、正方形的判定这些知识,另外解决这类问题常用到数形结合、方程和转化等数学思想方法.
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(2)当∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求这时点P的坐标.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
的解析式为(  )

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(1)求梯形OABC的面积;
(2)当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时,求直线CP的解析式;
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