在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 经过(2,1)和(6,-5)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,点P是在直线右侧的此抛物线上一点,过点P作PM轴,垂足为M. 若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似,求点P的坐标;
(3)点E是直线BC上的一点,点F是平面内的一点,若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形,请直接写出点F的坐标.
(1)抛物线的解析式为
(2)点P的坐标为(8,-14)或(5,-2)
(3)点F的坐标为(,)或(,)或(,)或(2,1)
解析试题分析:(1)由题意,得
解这个方程组,得 ∴ 抛物线的解析式为.
(2)令,得.解这个方程,得.∴A(1,0),B(4,0),令,得.∴C(0,-2),设P(),因为,①当时,△OCB∽△MAP.∴,解这个方程,得(舍),∴点P的坐标为(8,-14)②当时,△OCB∽△MPA.∴,解这个方程,得(舍).∴点P的坐标为(5,-2),∴点P的坐标为(8,-14)或(5,-2)
(3)先由确定点E的几个位置,再由E点确定F点的位置,推出点F的坐标为(,)或(,)或(,)或(2,1)
考点:抛物线解析式的复原,抛物线与集合的简单结合
点评:本题难度一般,学生可以通过方程组的简单计算,求出函数解析式
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