Question

如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；
（3）探究：△ABC的最大面积？

Answer 1

分析：（1）因为所求AB或x在△ABC中，所以可利用三角形三边之间的关系即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行解答．
（2）应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的．所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解．
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，满足1＜x＜2．
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，满足1＜x＜2．
∴x=

5

3

或x=

4

3

．
（3）在△ABC中，AB的值固定不变，即可视为底边不变，但是因为三角形形状不固定，
高在发生变化，所以造成面积不固定，需分情况进行讨论．具体分①若点D在线段AB上，②若点D在线段MA上两种情况．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．
∴

1+x＞3-x 1+3-x＞x

，
解得1＜x＜2；

（2）①若AC为斜边，则1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，无解，
②若AB为斜边，则x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

，满足1＜x＜2，
③若BC为斜边，则（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

，满足1＜x＜2，
∴x=

5

3

或x=

4

3

；

（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，
设CD=h，△ABC的面积为S，则S=

1

2

xh，
①若点D在线段AB上，
则

1-h2

+

(3-x)2-h2

=x，
∴(3-x)2-h2=x2-2x

1-h2

+1-h2，
即x

1-h2

=3x-4，
∴x²（1-h²）=9x²-24x+16，
即x²h²=-8x²+24x-16．
∴S²=

1

4

x²h²=-2x²+6x-4=-2（x-

3

2

）²+

1

2

（

4

3

≤x＜2），
当x=

3

2

时（满足

4

3

≤x＜2）S²取最大值

1

2

，从而S取最大值

2

2

；
②若点D在线段MA上，
则

(3-x)2-h2

-

1-h2

=x，
同理可，得
S²=

1

4

x²h²=-2x²+6x-4
=-2（x-

3

2

）²+

1

2

（1＜x≤

4

3

），
易知此时S＜

2

2

，
综合①②得，△ABC的最大面积为

2

2

．

点评：解此题的关键是进行全方面分析，注意一题多解．难易程度适中．