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如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为(2,2
3
),∠BCO=60°,OH⊥BC于点H,动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,设点P运动的时间为t秒.
(1)OH=
2
3
2
3

(2)用含t(秒)的代数式表示点P和Q的坐标:P(
0
0
t
t
),Q(
3-
3
2
t
3-
3
2
t
3
-
1
2
t
3
-
1
2
t
);
(3)若△OPQ的面积为S(平方单位),求S与t之间的函数关系,并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少?
分析:(1)过点B作BG⊥OC于G,就可以得出OG=2,BG=2
3
,在Rt△BGC中由三角函数值就可以得出CG的值,从而得出OC,在Rt△OHC中由勾股定理就可以得出OH的值;
(2)过点P作PN⊥OC,就可以得出PN=
1
2
OP,ON=
3
PN,就可以表示出P、Q的坐标;
(3)由三角形的面积公式可以得出S△OPQ=
1
2
OQ•ON,将(2)求出的结论代入就可以求出结论.
解答:解:(1)过点B作BG⊥OC于G,
∵B坐标为(2,2
3
),
∴OG=2,BG=2
3

∵∠BCO=60°,
∴tan∠BCG=
BG
CG
=
3

2
3
CG
=
3

∴CG=2.
∴OC=4.
∵OH⊥BC,
∴∠OHC=90°,
∴∠COH=30°
∵cos30°=
OH
OC
=
3
2

OH
4
=
3
2

∴OH=2
3


(2)过点P作PN⊥OC,
∴∠PNO=90°,
∴PN=
1
2
OP,ON=
3
2
OP.
∵OQ=t,PH=t,
∴OP=2
3
-t,
∴PN=
3
-
1
2
t,ON=3-
3
2
t,
∴Q(0,t),P(3-
3
2
t,
3
-
1
2
t)

(3)∵S△OPQ=
1
2
OQ•ON,
∴S=
1
2
t•(3-
3
2
t),
S=-
3
4
t2+
3
2
t,
S=-
3
4
(t2-2
3
),
S=-
3
4
(t-
3
2+
3
3
4

∵a=-
3
4
<0,
∴抛物线的开口向下,S有最大值,
∴t=
3
时,S最大=
3
3
4

∴S与t之间的函数关系为:S=-
3
4
t2+
3
2
t(0<t<2
3
),
t=
3
时,S最大=
3
3
4

故答案为:2
3
点评:本题考查了直角三角形的性质的运用,锐角三角函数值的运用,点的坐标的运用,三角形的面积公式的运用,二次函数的顶点式的运用,解答时运用直角三角形的性质根据三角函数值求解是关键,灵活运用抛物线的顶点式是难点.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D是BC上一点,BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
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(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)将△AEF沿一条边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形能否成为菱形?若能,请直接写出符合条件的x值;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90°,A点在x轴上,双曲线y=
k
x
过点F,与AB交于E点,连EF,若
BF
OA
=
2
3
,S△BEF=4,则k=
 

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,直角梯形OABC中,∠OAB=∠B=90°,A点在x轴上,双曲线y=
kx
过点C和AB中点D,若S梯形OABC=6,则该双曲线的解析式为
 

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∥BC,D精英家教网是BC上一点,BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°.
(1)直接写出D点的坐标;
(2)设OE=x,AF=y,试确定y与x之间的函数关系;
(3)当△AEF是等腰三角形时,将△AEF沿EF折叠,得到△A'EF,求△A'EF与五边形OEFBC重叠部分的面积.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图.直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上.OA∥BC,OA=4
2
,OC=
3
2
2

∠OAB=45°,D是BC上一点,CD=
3
2
2
.E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°,设OE=x,AF=y.
(1)AB=
 
,BC=
 
,∠DOE=
 

(2)证明△ODE∽△AEF,并确定y与x之间的函数关系;
(3)当AF=EF时,将△AEF沿EF折叠,得到△A′EF,求△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积.
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