Question

7．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：
①点G是BC的中点；②FG=FC；③∠GAE=45°．
其中正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①如图1，根据正方形边长求DE的长，由折叠得：AD=AF=3，DE=EF=1，根据HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，BG=FG，设BG=x，在直角△EGC中利用勾股定理列方程求出x的值，比较BG和CG的大小；
②如图2，作辅助线，根据平行线分线段成比例定理列式求FH和GH的长，根据勾股定理求FC，发现FG≠FC；
③如图1，根据正方形的内角为90°，及∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，得∠GAE=45°．

解答 解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=3，
∵CD=3DE，
∴DE=1，
∴CE=2，
由折叠得：DE=EF=1，AD=AF=3，
∴AB=AF，
∵∠B=∠AFG=90°，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG=FG，
设BG=x，则CG=3-x，FG=x，
由勾股定理得：EG²=CG²+EC²，
（x+1）²=2²+（3-x）²，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{3}{2}$，
∴CG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点G是BC的中点；
所以①正确；
②如图2，过F作FH⊥BC于H，
∵FH∥DC，
∴$\frac{FH}{EC}=\frac{GF}{GE}=\frac{GH}{GC}$，
∴$\frac{FH}{2}=\frac{\frac{3}{2}}{1+\frac{3}{2}}$=$\frac{GH}{\frac{3}{2}}$，
∴FH=$\frac{6}{5}$，GH=$\frac{9}{10}$，
∴CH=$\frac{3}{2}$-$\frac{9}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴FC=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
由①得FG=BG=$\frac{3}{2}$，
∴FG≠FC，
所以②不正确；
③如图1，∵∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，
∴∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE，
∵∠DAB=90°，
∴∠EAG=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°，
所以③正确；
故结论正确的是：①③，
故选B．

点评 本题考查了正方形和折叠的性质，明确折叠前后的对应角相等，正方形的四边相等且四个角都是直角；利用勾股定理列方程求边的长度，恰当地作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理列比例式求边长；从而比较边的大小关系．