Question

设直线l到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x²-2

d

x+R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论l与⊙O的位置关系．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,根的判别式

专题：数形结合,分类讨论

分析：可将直线l与⊙O的位置关系转化为d与R之间的数量关系，只需对该一元二次方程根的情况进行讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）若关于x的一元二次方程x²-2

d

x+R=0有两个不相等的实数根，
则△=（-2

d

）²-4×1×R=4d-4R＞0，
解得：d＞R．
此时直线l与⊙O相离．
（2）若关于x的一元二次方程x²-2

d

x+R=0有两个相等的实数根，
则△=（-2

d

）²-4×1×R=4d-4R=0，
解得：d=R．
此时直线l与⊙O相切．
（3）若关于x的一元二次方程x²-2

d

x+R=0没有实数根，
则△=（-2

d

）²-4×1×R=4d-4R＜0，
解得：d＜R．
此时直线l与⊙O相交．

点评：本题主要考查了直线l与⊙O的位置关系以及一元二次方程根的判别式，还考查了数形结合和分类讨论的思想，是一道好题．