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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知，如图1，过点E（0，-1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=
    1
    4
    x2上的两点A、B的横坐标分别为-1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF．
    （1）求点A、B、F的坐标；
    （2）求证：CF⊥DF；
    （3）点P是抛物线y=
    1
    4
    x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    （1）方法一：如图1，当x=-1时，y=
    1
    4
    ；当x=4时，y=4
    ∴A（-1，
    1
    4
    ）（1分）
    B（4，4）（2分）
    设直线AB的解析式为y=kx+b（3分）
    则
    -k+b=
    1
    4
    4k+b=4

    解得
    k=
    3
    4
    b=1

    ∴直线AB的解析式为y=
    3
    4
    x+1（4分）
    当x=0时，y=1∴F（0，1）（5分）
    方法二：求A、B两点坐标同方法一，如图2，作FG⊥BD，AH⊥BD，垂足分别为G、H，交y轴于点N，则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形，设FO=x（3分）
    ∵△BGF∽△BHA
    ∴
    BG
    BH
    =
    FG
    AH

    ∴
    4-x
    4-
    1
    4
    =
    4
    5
    （4分）
    解得x=1
    ∴F（0，1）（5分）

    （2）证明：方法一：在Rt△CEF中，CE=1，EF=2，
    根据勾股定理得：CF2=CE2+EF2=12+22=5，
    ∴CF=
    		5
    （6分）
    在Rt△DEF中，DE=4，EF=2
    ∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
    ∴DF=2
    		5

    由（1）得C（-1，-1），D（4，-1）
    ∴CD=5
    ∴CD2=52=25
    ∴CF2+DF2=CD2（7分）
    ∴∠CFD=90°
    ∴CF⊥DF（8分）
    方法二：由（1）知AF=
    		1+(
    3
    4
    )    2
    =
    5
    4
    ，AC=
    5
    4

    ∴AF=AC（6分）
    同理：BF=BD
    ∴∠ACF=∠AFC
    ∵AC∥EF
    ∴∠ACF=∠CFO
    ∴∠AFC=∠CFO（7分）
    同理：∠BFD=∠OFD
    ∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
    即CF⊥DF（8分）

    （3）存在．
    如图3，作PM⊥x轴，垂足为点M（9分）
    又∵PQ⊥OP
    ∴Rt△OPM∽Rt△OQP
    ∴
    PM
    PQ
    =
    OM
    OP
    ∴
    PQ
    OP
    =
    PM
    OM
    （10分）
    设P（x，
    1
    4
    x2）（x＞0），
    则PM=
    1
    4
    x2，OM=x
    ①当Rt△QPO∽Rt△CFD时，
    PQ
    OP
    =
    CF
    DF
    =
    		5
    2
    		5
    =
    1
    2
    （11分）
    ∴
    PM
    OM
    =
    1
    4
    x2
    x
    =
    1
    2

    解得x=2∴P1（2，1）（12分）
    ②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时，
    PQ
    OP
    =
    DF
    CF
    =
    2
    		5
    		5
    =2（13分）
    ∴
    PM
    OM
    =
    1
    4
    x2
    x
    =2
    解得x=8
    ∴P2（8，16）
    综上，存在点P1（2，1）、P2（8，16）使得△OPQ与△CDF相似．（14分）
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    （1）求直线与抛物线的解析式；
    （2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），求△PON的面积最大值；
    （3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△POD面积的
    1
    9
    ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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