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    【题目】如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一点，且OP＝4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN，则△PMN的周长为________．

    【答案】4cm

    【解析】

    如图，连接OC、OD，先根据轴对称的性质得出OC=OD=OP，∠COD=2∠AOB=60°，进一步即可判定△OCD是等边三角形，从而可得CD=OC，而易证CD的长就是△PMN的周长，于是问题得解.

    解：如图，连接OC、OD，∵C、D分别是点P关于OA、OB的对称点，

    ∴PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD，

    ∵∠AOB=30°，

    ∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOD+∠BOP=2∠AOB=2×30°=60°，

    ∴△OCD是等边三角形，

    ∵OP=4cm，

    ∴CD=OC=4cm，

    ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=4cm．

    故答案为：4cm．

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    在△ABC中，AB,BC,AC三边的长度分别为，求这个三角形的面积。

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    （1）请你直接写出△ABC的面积为：______；

    思维拓展

    （2）若△DEF三边的长分别为a,2a,a(a＞0),请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC. 并利用构图法求出它的面积；

    探索创新：

    （3）若在△ABC三边的长分别为,,(m＞0,n＞0,且m≠n),试运用构图法求出三角形的面积。

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    【题目】在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

    （1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

    （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

    （3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为_____

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    【题目】如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．

    （1）求证：AE＝CD；

    （2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

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    （1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；

    （2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求BC的长．

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    （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？

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