Question

在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB分别是关于x的方程x²-7x+12=0的两个根（OA＜OB）
（1）求直线AB的解析式；
（2）线段AB上一点C使得S_△ACO：S_△BCO=1：2，请求出点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，y轴上是否存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解：x²-7x+12=0，
x₁=3，x₂=4，
∵OA＜OB，
∴OA=3，OB=4，
∴A（-3，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是：y=kx+b，
把A（-3，0）、B（0，4）代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式是y=x+4．

（2）解：∵△ACO边AC上的高和△BCO边BC上的高相等，
∵S_△ACO：S_△BCO=1：2，
∴=，
过C作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，
∴CE∥x轴，CF∥y轴，
∴==，
∵OA=3，
∴CE=2，
同理CF=，
∴点C的坐标是（-2，）．

（3）解：存在，
理由是：∵AC和DO相交，
分为两种情况：①如图所示：当CD∥OA，即D在E处时，四边形AODC是梯形，
D的坐标是（0，）；
②如图所示：当D在y轴的负半轴上D′处时，OC∥AD，
∴=，
即=，
∴OD=2，
D的坐标是（0，-2），
答：在（2）的条件下，y轴上存在一点D，使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形，点D的坐标是（0，）或（0，-2）．
分析：（1）求出一元二次方程的解，得出OA、OB的值，求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是：y=kx+b，把A（-3，0）、B（0，4）代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据△ACO边AC上的高和△BCO边BC上的高相等和已知求出=，C作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求出CE、CF的值，即可得出C的坐标；
（3）分为两种情况：①当CD∥OA，即D在E处时，根据E的坐标即可求出的坐标；②当D在y轴的负半轴上D′处时，得出=，求出OD的值，即可得出D的坐标．
点评：本题考查了梯形、平行线分线段成比例定理，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组等知识点的应用，主要培养学生的推理能力和计算能力，题目综合性比较强，是一道具有代表性的题目，分类讨论思想的灵活运用．