Question

设凸四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD∥BC，则下面的四个命题：
①已知AB+BC=AD+DC，则ABCD为平行四边形
②已知DC+DO=AO+AB，则ABCD为平行四边形
③已知BC+BO+AO=AD+DO+CO，则ABCD为平行四边形
④已知AD+CO=BC+AO，则ABCD为平行四边形
其中正确命题的序号是

 

．（可以多选）

Answer 1

考点：平行四边形的判定

专题：

分析：①延长AD到F使得DF=DC，延长CB到E使得BE=AB，通过求证四边形AECF是平行四边形，即可推出∠E=∠F，∠EAF=∠ECF，其次根据∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，推出∠BAE=∠DCF，即可求出∠BAD=∠BCD，再由∠BCA=∠DAC，求出∠BAC=∠DCA，即可推出AB∥CD，最后由对边分别平行即可推出四边形ABCD为平行四边形，②首先假设命题中的结论成立，根据平行四边形的性质推出AB=CD，OA=OC，根据等式的性质得到等式DC+CO=AO+AB，而不是题设中的DC+DO=AO+AB，由此推出假设不成立，③首先假设四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质推出AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，
根据等式的性质可推出BC+BO+AO=AD+DO+CO，由此可得假设成立，④首先假设四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质推出AD=BC，OA=OC，根据等式的性质可推出AD+CO=BC+AO，由此可得假设成立．

解答：解：①延长AD到F使得DF=DC，延长CB到E使得BE=AB，
∴∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，
∵AB+BC=AD+DC，
即BE+BC=AD+DF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴AF∥CE，∠BCA=∠DAC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴∠E=∠F，∠EAF=∠ECF，
∵∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，
∴∠BAE=∠DCF，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BCA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴本项正确，

②假设四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OA=OC，
∴DC+CO=AO+AB，
∵DC+DO=AO+AB，
∴假设不成立，
∴本项错误；


③假设四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，
∴BC+BO+AO=AD+DO+CO，
∴假设成立，
∴本项正确，

④假设四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，OA=OC，
∴AD+CO=BC+AO，
∴假设成立，
∴本项正确，
故答案为①③④．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，利用反证法证明命题等知识点，关键在于正确的做出辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理．