Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=16，点P在AB上，AP=3，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是2；当t=4时，正方形EFGH的边长是6；
（2）当0＜t≤3时，求S与t的关系式．（用含t的代数式表示s）

Answer 1

分析 （1）根据题意可以得到当t=1时和t=4时，正方形EFGH的边长；
（2）根据题意可以得到当0＜t≤1时和1＜t≤3时对应的函数解析，本题得以解决．

解答 解：（1）由题意可得，
当t=1时，PE=1，PF=1，则EF=2，
当x=4时，PE=4-3=2，PF=4，则EF=2+4=6，
故答案为：2，6；
（2）由题意可得，如右图所示，
∠A=45°，EH=2PE，
当AE=EH时，0＜t≤1，2t=3-t，得t=1，S=（2t）²=4t²；
当点E移动到点E₁时，1＜t≤3，AE₁=3-t，则S=$（2t）^{2}-\frac{[2t-（3-t）]^{2}}{2}$=$-\frac{1}{2}{t}^{2}+9t-\frac{9}{2}$；
∴$s=\left\{\begin{array}{l}{4{t}^{2}}&{0＜t≤1}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+9t-\frac{9}{2}}&{1＜t≤3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．