Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是射线AC上一点，点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，且CF=AE，连接BE，EF.

(1)如图1，当E是线段AC的中点时，直接写出BE与EF的数量关系；

(2)当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你在图2中补全图形，判断(1)中的结论是否成立，并证明你的结论；

(3)当点B，E，F在一条直线上时，求∠CBE的度数.(直接写出结果即可)

Answer 1

【答案】（1）EF=BE；（2）EF=BE，理由见解析；（3）当B，E，F在一条直线上时，∠CBE=22.5°

【解析】

（1）证明△ECF是等腰直角三角形即可;
（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF=BE．只要证明BE=DE，△DEF是等腰直角三角形即可;
（3）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF=BE．只要证明∠CBF=∠CFB即可．

解：（1）如图1中，结论：EF=BE．
理由：

∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∵AE=EC，
∴BE=AE=EC，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°，
∵CF=AE，
∴EC=CF，
∴EF=EC，
∴EF=BE．

（2）图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF=BE．
理由：连接ED，DF．

由正方形的对称性可知，BE=DE，∠CBE=∠CDE
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAC=45°，
∵点F是正方形ABCD外角平分线CM上一点，
∴∠DCF=45°，
∴∠BAC=∠DCF，
由∵CF=AE，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，
∴DE=DF，
又∵∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，
即∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形
∴EF=DE，
∴EF=DE．

（3）如图3中，当点B，E，F在一条直线上时，∠图形如图2所示：（1）中的结论仍然成立，即EF=BE．CBE=22.5°．

理由：∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴E，C，F，D四点共圆，
∴∠BFC=∠CDE，
∵∠ABE=∠ADE，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠CBE，
∴∠CBF=∠CFB，
∵∠FCG=∠CBF+∠CFB=45°，
∴∠CBE=22.5°．