Question

如图：正方形OABC中，B点的坐标为（2，2）．D、E分别在边AB、BC上，F在BC的延长线上．且AD=CF，∠EDO=∠DOC．
（1）猜想△OAD与△OCF能否通过旋转重合？请证明你的猜想．
（2）若D是AB的中点．求直线DE的解析线．

Answer 1

解：（1）△OAD与△OCF能通过旋转重合；
证明：在△OAD和△OCF中，
，
∴△OAD≌△OCF，
∴OAD绕点O顺时针旋转90°与△OCF重合．

（2）∵D是AB的中点，
∴D（1，2），AD=CF=1，
设CE=x，则EF=EC+CF=x+1，BE=2-x，连接DF，
∵∠OFC=∠ODA=∠DOC=∠ODE，OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠EDF=∠EFD，
∴DE=EF=x+1，
在Rt△BDE中，BD²+BE²=DE²，
∴1+（2-x）²=（x+1）²，
解得：x=，
∴E（2，），
设DE的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线DE的解析式为：y=-x+．
分析：（1）利用SAS可判定△OAD≌△OCF，继而结合图形可判断出答案．
（2）先求出点D坐标，设CE=x，则EF=EC+CF=EC+AD=x+1，BE=2-x，进而根据角的关系可确定DE的长度，在Rt△BDE中，利用勾股定理可解出x的值，继而得出点E的坐标，也可得出DE的解析式．
点评：此题考查了正方形的性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理及旋转的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是熟练各基础知识点的应用，一步步解答．