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14.已知:⊙O上两个定点A,B和两个动点C,D,AC与BD交于点E.
(1)如图1,求证:EA•EC=EB•ED;
(2)如图2,若$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$,AD是⊙O的直径,求证:AD•AC=2BD•BC;
(3)如图3,若AC⊥BD,BC=3,求点O到弦AD的距离.

分析 (1)如图1,根据两角对应相等证明△ABE∽△DCE,可得结论;
(2)如图2,连接OB交AC于F,证明△ABF∽△DAB列比例式,由垂径定理得:AF=$\frac{1}{2}$AC,由等弧所对的弦相等得:AB=BC,代入比例式可得结论;
(3)如图3,作辅助线,构建直角三角形,根据三角形的中位线定理得:OG为△ADF的中位线,则OG=$\frac{1}{2}$DF,由∠EDC+∠ECD=90°和∠FAD+∠AFD=90°,再由同弧所对的圆周角相等得:∠EDC=∠FAD,所以$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$,求出BC=DF=3,从而得结论.

解答 证明:(1)如图1,∵∠BAC=∠CDB,∠AEB=∠DEC,
∴△ABE∽△DCE,
∴$\frac{EB}{EC}=\frac{EA}{ED}$,
∴EA•EC=EB•ED;

(2)如图2,连接OB交AC于F,
∵OB=OA,
∴∠ABF=∠BAD,
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$,
∴∠BAF=∠BDA,
∴△ABF∽△DAB,
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{BD}{AD}$,
∴AF•AD=AB•BD,
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}$,O是圆心,
∴AF=$\frac{1}{2}$AC,AB=BC,
∴$\frac{1}{2}$AC•AD=BC•BD,
∴AD•AC=2BD•BC;

(3)如图3,连接AO并延长交⊙O于F,连接DF,过O作OG⊥AD于G,
∴AG=DG,
∵AO=OF,
∴OG为△ADF的中位线,
∴OG=$\frac{1}{2}$DF,
∵AC⊥BD,
∴∠EDC+∠ECD=90°,
∵AF是⊙O的直径,
∴∠ADF=90°,
∴∠FAD+∠AFD=90°,
∵∠AFD=∠ECD,
∴∠EDC=∠FAD,
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{FD}$,
∴BC=DF=3,
∴OG=$\frac{3}{2}$,
∴点O到弦AD的距离是$\frac{3}{2}$.

点评 本题是圆的综合题,难度适中,考查了圆周角定理、垂径定理、三角形相似的性质和判定、三角形的中位线定理,熟练掌握圆周角定理是关键,在圆中证明相似中,常利用两角对应相等证明两三角形相似,要熟练掌握.

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