Question

13．如图，在△ABC中，己知AB=AC=5 cm，BC=8 cm，点P在边BC上沿B到C的方向以每秒1 cm的速度运动（不与点B，C重合），点Q在AC上，且满足∠APQ=∠B，设点P运动时间为t秒，当△APQ是等腰三角形时，t=3秒或$\frac{39}{8}$秒．

Answer 1

分析 分两种情形①如图1中，当PA=PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．②如图2中，当QA=QP时，作PE⊥AC于E．分别求解即可．

解答 解：①如图1中，当PA=PQ时，作AF⊥BC于F，PE⊥AC于E．

∵AB=AC=5，AF⊥BC，BC=8，
∴BF=CF=4，∠B=∠C，
∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPC，
∵∠APQ=∠B，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△BAP∽△CPQ，
∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{CQ}$，
∴$\frac{5}{8-t}$=$\frac{t}{CQ}$，
∴CQ=$\frac{t（8-t）}{5}$，
∵PA=PQ，PE⊥AQ，
∴AE=EQ=$\frac{1}{2}$[5-$\frac{t（8-t）}{5}$]，
∵cos∠C=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{t（8-t）}{5}+\frac{1}{2}[5-\frac{t（8-t）}{5}]}{8-t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=3或13（舍弃）
②如图2中，当QA=QP时，作PE⊥AC于E．

∵QA=QP，
∴∠QAP=∠QPA=∠C，
∴PA=PC，∵PE⊥AC，
∴AE=EC=$\frac{5}{2}$，
由cos∠C=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{4}{5}$，得到$\frac{\frac{5}{2}}{8-t}$=$\frac{4}{5}$，解得t=$\frac{39}{8}$，
综上所述，t=3秒或$\frac{39}{8}$秒时，△PQA是等腰三角形．
故答案为3秒或$\frac{39}{8}$秒．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．