Question

（2013•闸北区一模）已知：如图，二次函数y=

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）在x轴上方找一点C，使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数解析式求得点B的坐标；设直线BQ：y=kx+b（k≠0）．则把B、Q的坐标代入该解析式列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；最后令x=0，则y=-8，即E（0，-8）；
（2）需要分类讨论：①如图1，若∠COB=∠EOB=90°；②如图1，若∠CBO=∠EOB=90°；③如图2，若∠OCB=∠BOE=90°．由相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度．

解答：解：（1）令y=0，得

2

3

x2-

4

3

x-

16

3

=0，
解方程，得
x₁=-2，x₂=4，
∵点A在点B的左侧，
∴B（4，0）
又y=

2

3

(x-1)2-6，
∴Q（1，-6）．
设直线BQ：y=kx+b（k≠0）．则把B、Q的坐标代入，得

4k+b=0 k+b=-6

解得

k=2 b=-8

，
∴直线BQ的解析式是：y=2x-8，
∴E（0，-8）；

（2）由（1）知，B（4，0），E（0，-8），则OE=8，OB=4．
①如图1，若∠COB=∠EOB=90°．
当△BOC∽△BOE时，

BO

BO

=

OC

OE

=1，即OC=OE=8，则C₁（0，8）；
当△COB∽△BOE时，

BO

EO

=

CO

BO

，即

4

8

=

CO

4

，则CO=2，故C₂（0，2）；
②如图1，若∠CBO=∠EOB=90°．
当△CBO∽△BOE时，

CB

BO

=

BO

OE

，即

CB

4

=

4

8

，解得，CB=2，故C₃（4，2）；
当△OBC∽△BOE时，

OB

BO

=

BC

OE

=1，即BC=OE=8，故C₄（4，8）；
③如图2，若∠OCB=∠BOE=90°，设C（x，y）．
△OCB∽△BOE时，

OC

BO

=

CB

OE

，即

OC

4

=

CB

8

，或

OC

CB

=

1

2

  ①．
∵直角△BOC中，根据勾股定理知OC²+BC²=OB²=16，②
∴由①②得，OC=

4 5

5

，BC=

8 5

5

OC•BC=

32

5

．
∵

1

2

OB•y=

1

2

OC•BC，
∴y=

8

5

，
∴x=

4

5

，即C₅（

4

5

，

8

5

）．
同理，当△BCO∽△BOE时，C₆（

16

5

，

8

5

）．
综上所述，符合条件的点C的坐标是：
C₁（0，8），C₂（0，2），C₃（4，2），C₄（4，8），C₅（

4

5

，

8

5

），C₆（

16

5

，

8

5

）．

点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数的综合题．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．