Question

5．如图，PB是⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若$\frac{OC}{AC}$=$\frac{3}{4}$且OC=3，求PA的长和tanD的值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由SSS证明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；
（2）连接BE，证明△BED∽△POD，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE=2OC，由△PBC∽△BOC和勾股定理可求出tanD的值．

解答 （1）证明：连接OB，如图1所示：
∵PB为⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PAO和△PBO中，$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{OP=OP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵AE是直径，∠ABE=90°
由（1）知∠ACO=90°
∴BE∥OP，
∴△BED∽△POD，
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BE}{OP}$，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC，
∵OC：AC=3：4，OC=3，
∴AC=4，BE=6．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{PC}{AC}$，
∴PC=$\frac{16}{3}$，OP=$\frac{25}{3}$，
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BE}{OP}$=$\frac{6}{\frac{25}{3}}$=$\frac{18}{25}$，
设DB=18m，DP=25m，则PB=7m．
∵PA=PB，
∴PA=7m，∴AD=$\sqrt{P{D}^{2}-A{P}^{2}}$=24，
∴tanD=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．