Question

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线和直线BC的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式；然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）易得△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，利用勾股定理的逆定理可证明ACB=90°，再证明△ACB∽△COB，所以当点E在点C时满足条件；当E为点C在抛物线上的对称点时也满足条件，然后利用对称性写出E点坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）代入得a•1•（-4）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，2），B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=2}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）存在．
由图象可得以A或B点为直角顶点的△ABE不存在，
∴△ABE只能是以E点为直角顶点的三角形，
∵AC²=1²+2²=5，BC²=4²+2²=20，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，
∵∠ABC=∠CBO，
∴△ACB∽△COB
∴当点E在点C时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似；
∵点C关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点的坐标为（3，2），
∴点E的坐标为（3，2）时，以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似，
综上所述，点E的坐标为（0，2）或（3，2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．