Question

请阅读下列材料：
问题：正方形ABCD中，M，N分别是直线CB、DC上的动点，∠MAN=45°，当∠MAN交边CB、DC于点M、N（如图①）时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？
小聪同学的思路是：延长CB至E使BE=DN，并连接AE，构造全等三角形经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中，线段BM，DN和MN之间的数量关系；
（2）当∠MAN分别交边CB，DC的延长线于点M/N时（如图②），线段BM，DN和MN之间的又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）在图①中，若正方形的边长为16cm，DN=4cm，请利用（1）中的结论，试求MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据小聪同学的思路，可证△ABE与△ADN全等，从而证明△AMN与△AME全等，得关系式；
（2）在DC上截取DF=BM，得△ABM与△ADF全等；再证明△MAN与△FAN全等，得关系式；
（3）运用勾股定理计算．

解答：解：（1）BM+DN=MN；

（2）DN-BM=MN．
理由如下：
如图，在DC上截取DF=BM，连接AF．
∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，
∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．
∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，
即∠MAF=∠BAD=90°．
又∠MAN=45°，
∴∠NAF=∠MAN=45°．
∵AN=AN，
∴△MAN≌△FAN．
∴MN=FN，
即 MN=DN-DF=DN-BM；

（3）∵正方形的边长为16，DN=4，
∴CN=12．
根据（1）可知，BM+DN=MN，
设 MN=x，则 BM=x-4，
∴CM=16-（x-4）=20-x．
在Rt△CMN中，
∵MN²=CM²+CN²，
∴x²=（20-x）²+12²．
解得 x=13.6．
∴MN=13.6cm．

点评：此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，运用截长补短法构造全等三角形是关键．也可运用图形的旋转性质构造全等三角形．