Question

如图，已知二次函数y=-

1

2

x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
（3）根据图象，写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围．
（4）填空：要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点，应把图象沿y轴向下平移

 

个单位．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，将A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c即可求出函数解析式；
（2）根据解析式，求出C点坐标、B点坐标，再利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积；
（3）求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出x的取值范围；
（4）求出抛物线的顶点纵坐标，即可根据平移知识得出答案．

解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c，
得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得

b=4 c=-6

，
∴这个二次函数的解析式为y=-

1

2

x2+4x-6；

（2）∵该抛物线对称轴为直线x=-

4

2×(- 1 2 )

=4，
∴点C的坐标为（4，0），
∴AC=OC-OA=4-2=2，
∴S△ABC=

1

2

×AC×OB=

1

2

×2×6=6；

（3）当y=0时，-

1

2

x2+4x-6=0，
解得，x₁=2，x₂=6，
由图可知，x＜2或x＞6．

（4）将（2）中所求x=4代入解析式，即可得顶点坐标为-

1

2

×4²+4×4-6=2，
可见把图象沿y轴向下平移2个单位，则该二次函数的图象与x轴只有一个交点．
故答案为：2．

点评：此题综合性较强，考查了抛物线与x轴的交点、用待定系数法求函数解析式、二次函数图象与几何变换等知识，解答时要理清思路，并注意计算的正确性．