Question

5．如图（1），我们将相同的两块含30°角的直角三角尺Rt△DEF与Rt△ABC叠合，使DE在AB上，DF过点C，已知AC=DE=6．将图（1）中的△DEF绕点D逆时针旋转（DF与AB不重合），使边DF、DE分别交AC、BC于点P、Q，如图（2）．
（1）求证：△CQD∽△APD；
（2）连结PQ，设AP=x，求面积S_△PCQ 关于x的函数关系式；
（3）将图（1）中的△DEF 向左平移（A、D不重合），使边FD、FE分别交AC、BC于点M、N，如图（3），连结MN，试问△MCN面积是否存在最大值？如不存在，请说明理由；如存在请求出S_△MCN的最大值．

Answer 1

分析 （1）首先判断出∠BCD=∠CAD=60°，然后根据∠ADP+∠PDC=90°，∠CDQ+∠PDC=90°，判断出∠CDQ=∠ADP，根据三角形相似的判定方法，即可判断出△CQD∽△APD．
（2）首先求出AD=3，CD=3$\sqrt{3}$，然后根据△CQD∽△APD，判断出$\frac{CQ}{AP}=\frac{CD}{AD}$，推得CQ=$\sqrt{3}$x，最后根据三角形的面积公式，求出S_△PCQ关于x的函数关系式即可．
（3）△MCN面积存在最大值．首先设AM=x，分别求出CM、CN的长度各是多少；然后根据S_△MCN=$\frac{1}{2}MC•CN$，求出S_△MCN关于x的函数关系式；最后应用配方法，求出△MCN的面积的最大值是多少即可．

解答 （1）证明：∵DF过点C，DF⊥AB，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠BCD=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∴∠BCD=∠CAD，
即∠DCQ=∠DAP，
∵∠ADP+∠PDC=90°，∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠CDQ=∠ADP，
在△CQD和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCQ=∠DAP}\\{∠CDQ=∠ADP}\end{array}\right.$
∴△CQD∽△APD．

（2）解：如图2，
，
∵在Rt△ADC中，AC=6，∠CAD=60°，∠ACD=30°，
∴AD=3，CD=3$\sqrt{3}$，
∵△CQD∽△APD，
∴$\frac{CQ}{AP}=\frac{CD}{AD}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
∴CQ=$\sqrt{3}AP$=$\sqrt{3}$x，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}CQ•CP$=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$（6-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²$+3\sqrt{3}$x（0＜x＜6）．

（3）解：△MCN面积存在最大值．
如图3，
，
∵∠DEF=60°，∠DEF=∠ENB+∠EBN，
∴∠ENB=∠DEF-∠EBN=60°-30°=30°，
∴∠ENB=∠EBN=30°，
∴△BEN是等腰三角形，
设AM=x，则CM=6-x，AD=$\frac{1}{2}$x，
∴BE=AB-AD-DE=12-$\frac{1}{2}x$-6=6-$\frac{1}{2}$x，BN=$\sqrt{3}$（6-$\frac{1}{2}$x），
∴CN=BC-BN=6$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$（6-$\frac{1}{2}x$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴S_△MCN=$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$[9-（x-3）²]，
∴当x=3时，S_△MCN 的最大值为$\frac{9}{4}\sqrt{3}$．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．