Question

4．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．

（1）图1中共有哪些相似三角形，把它们分别写出来（不需证明）；
（2）已知AB、AC的长是方程x²-18x+80=0的两根，求CD的长：
（3）在（2）的情况下，以直线AB、CD为坐标轴，建立如图2的直角坐标系，当点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，同时点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到线段的端点时，两点同时停止运动，当△BPQ∽△ABC时，求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）解方程x²-18x+80=0，求得AB、AC的长，在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，即可求出CD的长；
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．

解答 解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）∵解方程x²-18x+80=0得：x₁-8，x₂=10，
∵AB、AC的长是方程x²-18x+80=0的两根，
∴AB=10．AC=8，
如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6．
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8；

（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3.6．
分两种情况：
①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{6-t}{10}=\frac{t}{6}$，
解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=$\sqrt{B{P}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{3.7{5}^{2}-2.2{5}^{2}}$=3，
∴点P的坐标为（1.35，3）；
②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，
∴$\frac{6-t}{6}=\frac{t}{10}$，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
过点P作PE⊥x轴于点E．
∵△QPB∽△ACB，
∴$\frac{PE}{CO}=\frac{BQ}{AB}$，即$\frac{PE}{4.8}=\frac{3.75}{10}$，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE=$\sqrt{B{P}^{2}-P{E}^{2}}$=1.35，
∴OE=OB-BE=3.6-1.35=1.25，
∴点P的坐标为（3.15，1.8）；
综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（2.25，1.8）．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，动点问题等知识，难度适中，正确的作出辅助线是解题的关键．