Question

如图，正方形ABCD的边长为5，点F为正方形ABCD内的点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合．
（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）判断△BEF是怎样的三角形？并说明理由；
（3）若BE=3，FC=4，说明AE∥BF．

Answer 1

解：（1）∵△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴旋转中心是点B，
∵ABCD是正方形，
∴旋转了90°；
（2）△BEF是等腰直角三角形．理由如下：
∵△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合，
∴∠1=∠2，BF=BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠3=∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形；
（3）在△BFC中，BF²+FC²=3²+4²=25=BC²，
∴△BFC是直角三角形，∠BFC=90°．
∵△BFC≌△BEA，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
∴BE⊥AE．
∵BE⊥BF，
∴AE∥BF．
分析：（1））根据△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合，点F在正方形ABCD内，得出旋转中心是点B，再根据ABCD是正方形，得出旋转了90°；
（2）根据已知条件得出∠1=∠2，BF=BE，再根据四边形ABCD是正方形，得出∠1+∠3=∠ABC=90°和∠2+∠3=∠EBF=90°，即可判断出△BEF的形状；
（3）根据在△BFC中BF²+FC²=3²+4²=25=BC²，得出△BFC是直角三角形，再根据△BFC≌△BEA得出∠BEA=∠BFC=90°，从而得出BE⊥AE，即可证出AE∥BF．
点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形等知识，综合性较强，有一定难度．