Question

11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，△OBC是等腰三角形，底边OC落在x轴上，点C坐标为（2，0）．直线AB与反比例函数都经过第一象限的点B，且A（-1，0），直线AB交y轴于点D，若S_△BOC=4．
（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；
（2）求四边形OCBD的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B作BH⊥OC于点H，根据△BOC的面积和C的坐标求出BH，求出OH，即可求出B的坐标，设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0），把A、B的坐标代入y=kx+b，即可求出一次函数的解析式，设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}（{m≠0}）$，把B的坐标代入即可求出m；
（2）将x=0代入y=2x+2，求出OC，分别求出△ABC和△AOC的面积，即可求出答案．

解答 解：（1）过点B作BH⊥OC于点H，

∵S_△BOC=4，点C坐标为（2，0），
∴$\frac{1}{2}×2×BH=4$，
∴BH=4，
∵OB=BC，
∴OH=CH=1，
∴点B坐标为（1，4），
设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}（{m≠0}）$，
将B（1，4）代入$y=\frac{m}{x}（{m≠0}）$中，
∴m=4，
∴反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$，
设一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）
将B（1，4），A（-1，0）代入y=kx+b（k≠0）得：$\left\{\begin{array}{l}4=k+b\\ 0=-k+b\end{array}\right.$，
解之得，$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=2\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=2x+2；

（2）将x=0代入y=2x+2中，
∴y=2，
∴OD=2，AC=3，
S_{四边形DBCO}=S_△ABC-S_△AOD
=$\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×1×2$
=5，
即四边形OCBD的面积为5．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用，能求出两函数的解析式是解此题的关键，数形结合思想的应用．