Question

2．如图，在Rt△ABC中，C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直角，即可得证；
（2）过O作OG垂直于BE，可得出四边形ODCG为矩形，利用勾股定理求出BG的长，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BC，∠C=90°，
∴OG∥AC，
∴△BOG∽△BAC，
∴$\frac{BG}{OD}=\frac{OG}{AD}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{8}{AD}$，
∴AD=$\frac{40}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．