Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线y=k₁x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA．
（1）求反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的解析式；
（2）若S_△AOB：S_△BOC=1：2，求直线y=k₁x+b的解析式．

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得出关于k₂的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）分两种情况考虑：①直线y=k₁x+b经过第一、三、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式；②直线y=k₁x+b经过第一、二、四象限，由S_△AOB：S_△BOC=1：2结合三角形的面积公式得出点C的坐标，由待定系数法即可求出此时直线的函数解析式．

解答 解：（1）将点A（3，1）代入到y=$\frac{{k}_{2}}{x}$中，得1=$\frac{{k}_{2}}{3}$，
解得：k₂=3．
故反比例函数的解析式为y=$\frac{3}{x}$．
（2）符合题意有两种情况：
①直线y=k₁x+b经过第一、三、四象限，如图1所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，-2）．
则有$\left\{\begin{array}{l}{-2=b}\\{1=3{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=x-2．
②直线y=k₁x+b经过第一、二、四象限，如图2所示．

∵S_△AOB：S_△BOC=1：2，点A（3，1），
∴点C的坐标为（0，2）．
则有$\left\{\begin{array}{l}{1=3{k}_{1}+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中得到关于k₂的一元一次方程；（2）分两种情况分别求出点C的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．