Question

10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，现将一直角三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角板所在的直线分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图①），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．若直线DE与直线BC交于点G，在旋转过程中，当△EFG为等腰三角形时，则FG=2或2$\sqrt{2}$．（注：若x²=a，且x＞0，则x=$\sqrt{a}$）

Answer 1

分析 先根据ASA判定△DCE≌△DFB，得出DE=DF，再根据∠EDF=90°，得到△DEF是等腰直角三角形，进而得出∠FEG=45°，再分三种情况进行讨论：当G在线段CB延长线上时；当G与B重合时；当G在线段BC上时，分别求得FG的长即可．

解答 解：∵AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，连接CD，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，
∵∠DCB=∠B=45°，
∴CD=DB，
∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△DCE和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠FDB}\\{CD=DB}\\{∠DCE=∠B}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DFB（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠FEG=45°，
如图，当G在线段CB延长线上时，∠FGE＜45°，∠EFG＞90°，

∴EF＜GF，
∴△EFG不是等腰三角形；
如图，当G与B重合时，E与A重合，F与C重合，

此时FE=AC=2，FG=CB=2，
如图，当G在线段BC上时，

根据∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，可得EF=EG，
∵EC⊥FG，
∴FC=CG，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG=90°，
∴DC=$\frac{1}{2}$FG，即FG=2CD，
又∵等腰Rt△ABC中，CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴FG=2$\sqrt{2}$．
综上所述，当△EFG为等腰三角形时，则FG=2或2$\sqrt{2}$．
故答案为：2或2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．解决问题的关键是判定△DEF是等腰直角三角形，解题时注意分类思想的运用．