Question

20．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度（即tanα）为1：1.2，坝高10米，为了提高坝的防洪能力，由相关部门决定加固堤坝，要求将坝顶CD加宽2米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为1000米．
（1）求完成该工程需要多少土方？
（2）该工程由甲、乙两工程队同时合作完成，按计划需20天，准备开工前接到上级要求，汛期可能提前，要求两工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

Answer 1

分析 （1）欲求完成该工程需要多少土方，根据体积公式，在本题中，必须求出四边形AFED的面积，上底、高为已知，只需用两次坡度比求出AF的长．
（2）根据题中两个等量关系列方程组解答即可．

解答 解：（1）如图所示：作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，
∴EH∥DG，∠EHG=∠DGB=90°，
又∵CD∥AB，
∴四边形EHGD是矩形，
∴EH=DG=10米，
∵$\frac{DG}{AG}$=$\frac{1}{1.2}$，
∴AG=12米，
∵$\frac{EH}{FH}$=$\frac{1}{1.4}$，∴FH=14米，
∴FA=FH+GH-AG=14+2-12=4（米）
∴S_{四边形ADEF}=$\frac{1}{2}$（ED+AF）•EH=$\frac{1}{2}$（4+2）×10=30（平方米）
V=30×1000=30000（立方米）；
答：需要30000立方米土方．

（2）设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方．
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{20（x+y）=30000}\\{15[（1+30%）x+（1+40%）y]=30000}\end{array}\right.$，
解之，得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1000}\\{y=500}\end{array}\right.$，
答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，
乙队原计划每天完成500立方米土方．

点评 此题考查了解直角三角形的应用、二元一次方程组的应用以及梯形面积的计算，正确应用锐角三角函数关系得出AF的长是解题关键．