Question

4．如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、B，试解答下列问题：
（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD=∠BOC，然后整理得出∠OAD+∠D=∠B+∠OCB，那么求出∠OCB-∠OAD=10°，再根据角平分线的定义求出∠1-∠3，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；
（2）根据“8字形”用∠B、∠D表示出∠OCB-∠OAD，再用∠D、∠P表示出∠DAM-∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠DAM-∠PCM=$\frac{1}{2}$（∠OCB-∠OAD），然后整理即可得证．

解答 解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°-∠OAD-∠D，
在△BOC中，∠BOC=180°-∠B-∠OCB，
∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），
∴180°-∠OAD-∠D=180°-∠B-∠OCB，
∴∠OAD+∠D=∠B+∠OCB，
∵∠D=40°，∠B=30°，
∴∠OAD+40°=∠OCB+30°，
∴∠OCB-∠OAD=10°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠3=$\frac{1}{2}$∠OCB，
又∵∠1+∠D=∠3+∠P，
∴∠P=∠1+∠D-∠3=$\frac{1}{2}$（∠OAD-∠OCB）+∠D=$\frac{1}{2}$×（-10°）+40°=35°；

（2）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠1+∠D=∠3+∠P，
所以，∠OCB-∠OAD=∠D-∠B，∠3-∠1=∠D-∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠OAD，∠3=$\frac{1}{2}$∠OCB，
∴$\frac{1}{2}$（∠D-∠B）=∠D-∠P，
整理得，2∠P=∠B+∠D．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．