Question

如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）证明：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长．

Answer 1

分析：（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF=90°即可；
（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长．

解答：（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，
∴∠E=30°；
∵∠E=∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴∠ECF+∠OCB=90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，
∴∠OCF=90°，
∴CF为⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC=ABcos30°=

3

，BC=ABsin30°=1；
∵AC=CE，
∴BE=BC+CE=1+

3

，在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，
∴MB=BEsin30°=

1+ 3

2

，
∴MO=MB-OB=

-1+ 3

2

．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．