Question

如图，一次函数y=2x-6与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得k的值，得到函数的解析式；在一次函数y=2x-6中，令y=0，即可求得B的横坐标；
（2）分A、B、C分别是等腰三角形的顶角顶点，三种情况进行讨论，即可求解．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象过点A（4，2），
∴2=

k

4

，解得k=8．
所以反比例函数解析式为y=

8

x

，
∵直线y=2x-6与x轴交于点B，∴当y=0时，2x-6=0，解得x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．

（2）AB=

(4-3)2+22

=

5

，
当B是等腰三角形的顶角顶点时，BC=AB，则OC=3+

5

或3-

5

，即C的坐标C₁（3+

5

，0）；C₂（3-

5

，0）；
当A是等腰三角形的顶角的顶点时，AC=AB，过A作AD⊥x轴于点D，则BD=DC=4-3=1，则OC=3+1+1=5，则C的坐标是（5，0）；
当C是等腰三角形的顶角的顶点时，AB的中点是（

7

2

，1），则设过AB的中点与C的直线的解析式是：y=-

1

2

x+b，把（

7

2

，1）代入得：-

7

4

+b=1，
解得：b=

11

4

，
则解析式是：y=-

1

2

x+

11

4

，
令y=0，解得：x=

11

2

．
则C的坐标是（

11

2

，0）．
总之，C的坐标是：C₁（3+

5

，0）；C₂（3-

5

，0）；C₃（5，0）；C₄（

11

2

，0）．

点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，以及等腰三角形的性质，正确对C的位置进行讨论是关键．