分析 (1))由△ABC的三条中线相交于点G,可得$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$,$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$,然后证得$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{0}$,即可证得结论;
(2)由△ABC的三条中线相交于点G,可得$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$,$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$,继而证得结论.
解答 证明:(1)∵△ABC的三条中线相交于点G,
∴$\overrightarrow{GD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BE}$,$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CF}$,
∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{BA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$,
∴$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$)=$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$)=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$,
∴$\overrightarrow{GD}$+$\overrightarrow{GE}$+$\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$)=$\overrightarrow{0}$;
(2)∵△ABC的三条中线相交于点G,
∴$\overrightarrow{GA}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{GB}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BE}$,$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CF}$,
∴$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$=-$\frac{2}{3}$($\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{CF}$)=$\overrightarrow{0}$.
点评 此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质.注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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