Question

【题目】四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，∠ACB＝∠ACD

（1）如图1，求证：AB＝AD；

（2）如图2，点E在AB弧上，DE交AC于点F，连接BE，BE＝DF，求证：DF＝DC；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得，可得AB＝AD；

（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；

（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝CD，CD2＝，由勾股定理可求解．

证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，

∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB

∴∠AOD＝∠AOB

∴

∴AD＝AB；

（2）如图2，连接AE，

∵

∴∠ABE＝∠ADE

在△ABE和△ADF中

∴△ABE≌△ADF（SAS）

∴∠BAE＝∠DAC

∴

∴BE＝DC

∵BE＝DF

∴DF＝DC；

（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，

∵DE＝BC，BE＝CD，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴∠EBC＝∠EDC，

∵四边形BEDC是圆内接四边形，

∴∠EBC+∠EDC＝180°，

∴∠EDC＝∠EBC＝90°，

∴EC是直径，

∴∠FGC＝∠EDC＝90°

∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，

∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，

∴△FDN≌△DCM（AAS）

∴FN＝DM，CM＝DN，

∵EG＝GH＝5，

∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，

∴∠HDC＝∠CHD，

∴CH＝CD，且CM⊥DH，

∴DM＝MH＝FN，

∵S△DFG＝9，

∴DG×FN＝9，

∴×（5+2FN）×FN＝9，

∴FN＝2，

∴DM＝2，DH＝4，

∵∠GEC＝∠GDC，∠EGC＝∠DMC，

∴△EGC∽△DMC，

∴，

∴EC＝CD，且HC＝CD，

∴EH＝CD，

∵∠EGD＝∠ECD，∠GEC＝∠GDC，

∴△GEH∽△CHD，

∴，

∴，

∴，

∵EC2﹣CD2＝DE2，

∴，

∴，

∴DE＝

∴BC＝