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【题目】在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为60°,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x 轴于点H,在抛物线y=x2(x>0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是______

【答案】

【解析】试题解析:①如图1,当∠POQ=OAH=30°,若以P,O,Q为顶点的三角形与AOH全等,那么A、P重合;

∵∠AOH=60°

∴直线OA:y=x,

联立抛物线的解析式得:

解得:

A(,3);

②当∠POQ=AOH=60°,此时POQ≌△AOH,

易知∠POH=30°,则直线y=x,联立抛物线的解析式,得:

解得:

P( ),那么A( );

③当∠OPQ=90°POQ=AOH=60°时,此时QOP≌△AOH;

易知∠POH=30°,则直线y=x,联立抛物线的解析式,得:

解得:

P( ),

OP=,QP=

OH=OP=,AH=QP=

A( );

④当∠OPQ=90°POQ=OAH=30°,此时OQP≌△AOH;

此时直线y=x,联立抛物线的解析式,得:

解得: ,,

P(,3),

QP=2,OP=2

OH=QP=2,AH=OP=2

A(2,2).

综上可知:符合条件的点A有四个,分别为:(,3)或( )或 或(2,2).

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②要使高为3米的船通过,则其宽度须不超过多少米?

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