Question

18．已知正方形ABCD，BD为正方形的对角线过顶点A作MN∥DB，在MN上取一点F，使得DF=DB，DF交AB于E，求证：BE=BF．

Answer 1

分析 过A作AG⊥BD于G，过F作FH⊥BD于H．先证明四边形AGHF为矩形，根据矩形和正方形的性质得到AG=FH=$\frac{1}{2}$DB，进一步得到FH=$\frac{1}{2}$DE，由直角三角形FHD中，FH为斜边DE的一半得到∠FDH=30°，再根据等腰三角形的性质和角的和差关系得到∠BEF=∠DFB，从而得到BE=BF．

解答 证明：过A作AG⊥BD于G，过F作FH⊥BD于H．
∵MN∥DB，
∴四边形AGHF为矩形，
∴AG=FH=$\frac{1}{2}$DB，
又∵DF=DB，
∴FH=$\frac{1}{2}$DF，
∴∠FDH=30°，
又∵BD=DF，
∴∠DFB=∠FBD=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠BEF=∠EBD+∠FDB=45°+30°=75°=∠DFB，
∴BE=BF．

点评 考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是作出辅助线．