【题目】在平面直角坐标系中,已知,,点,在轴上方,且四边形的面积为32,
(1)若四边形是菱形,求点的坐标.
(2)若四边形是平行四边形,如图1,点,分别为,的中点,且,求的值.
(3)若四边形是矩形,如图2,点为对角线上的动点,为边上的动点,求的最小值.
【答案】(1)(-4,4);(2);(3)
【解析】
(1)作DH⊥AB,先求出AB,根据菱形性质得AD=AB=8,再根据勾股定理求出AH,再求OH;
(2)延长EF与x轴相交于G,作EP⊥AB,根据平行线性质证△ECF≌△GBF(AAS),得BG=EC=4,EF=FG,AG=AB+BG=12,EG=2EF,根据勾股定理得:(AE+EG)2-2AEEG=AG2,根据三角形面积公式得:所以(AE+EG)2-2×48=122;
(3)作点B关于AC的对称点,作,交AC于点M,此时BM+MN最小,连接;根据矩形性质和轴对称性质得:AB=8,BC=,AC=,求得=,=AB=8,,设AN=x,则BN=8-x,由勾股定理可得:,可进一步求出.
(1)作DH⊥AB
因为,,
所以AB=4-(-4)=8,
因为四边形ABCD是菱形,
所以AD=AB=8,
因为四边形的面积为32,
所以DH=32÷8=4
所以根据勾股定理可得:AH=
所以OH=AH-OA=-4
所以点D的坐标是(-4,4)
(2)延长EF与x轴相交于G,作EP⊥AB
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以DC=AB=8,DC//AB
所以∠C=∠CBG,∠CEF=∠BGF,
因为E,F分别是CD,AB的中点,
所以DE=CE=4,CF=BF,
所以△ECF≌△GBF(AAS)
所以BG=EC=4,EF=FG
所以AG=AB+BG=12,EG=2EF,
又因为AF⊥EF
所以AE2+EG2=AG2
所以(AE+EG)2-2AEEG=AG2
由(1)知EP=DH=4
所以根据三角形面积公式得:
所以
所以(AE+EG)2-2×48=122
所以
所以AE+2EF=
(3)作点B关于AC的对称点,作,交AC于点M,此时BM+MN最小;连接.
因为四边形ABCD是矩形,
所以由已知可得:AB=8,BC=
所以AC=
所以在三角形ABC中,AC上的高是:
因为AC是的对称轴,
所以=,=AB=8,
设AN=x,则BN=8-x,由勾股定理可得:
解得x=,
所以
所以BM+MN=
即BM+MN的最小值是.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,且CD=24,点M在⊙O上,MD经过圆心O,联结MB.
(1)若BE=8,求⊙O的半径;
(2)若∠DMB=∠D,求线段OE的长.
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【题目】十一期间,小明一家一起去旅游,如图是小明设计的某旅游景点的图纸(网格是由相同的小正方形组成的,且小正方形的边长代表实际长度100m,在该图纸上可看到两个标志性景点A,B.若建立适当的平面直角坐标系,则点A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三个景点C(1,3)的位置已破损.
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并标出景点C的位置;
(2)平面直角坐标系的坐标原点为点O,△ACO是直角三角形吗?请判断并说明理由.
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【题目】如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.
(1)如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】十一期间,小明一家一起去旅游,如图是小明设计的某旅游景点的图纸(网格是由相同的小正方形组成的,且小正方形的边长代表实际长度100m,在该图纸上可看到两个标志性景点A,B.若建立适当的平面直角坐标系,则点A(﹣3,1),B(﹣3,﹣3),第三个景点C(1,3)的位置已破损.
(1)请在图中画出平面直角坐标系,并标出景点C的位置;
(2)平面直角坐标系的坐标原点为点O,△ACO是直角三角形吗?请判断并说明理由.
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【题目】若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为( )
A. 2+ B. C. 2+或2- D. 4+2或2-
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【题目】y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,当△ABC为直角三角形时,则( )
A. ac=﹣1 B. ac=1 C. ac=±1 D. 无法确定
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【题目】综合与探究
如图1,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.D为坐标平面第四象限内一点,且使得△ABD与△ABC全等.
(1)求抛物线的表达式.
(2)请直接写出点D的坐标,并判断四边形ACBD的形状.
(3)如图2,将△ABD沿y轴的正方形以每秒1个单位长度的速度平移,得到△A′B′D′,A′B′与BC交于点E,A′D′与AB交于点F.连接EF,AB′,EF与AB′交于点G.设运动的时间为t(0≤t≤2)秒.
①当直线EF经过抛物线的顶点T时,请求出此时t的值;
②请直接写出点G经过的路径的长.
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【题目】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°,距离灯塔为2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置,海轮航行的距离AB长是( )
A. 2海里 B. 2sin 55°海里
C. 2cos 55°海里 D. 2tan 55°海里
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